F Vale IN2059 7 urs mob i li

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F Vale IN2059 7 urs mob i li San ce 3 res FIN205-A2013 Introduction : Les obligations et les taux dintrt Rappel Structure terme des taux dintrt La sensibilit des prix aux variations de taux La dure

La convexit (facteur de correction) Rappel Dfinition: Une obligation est une dette long terme mise par une socit ou un gouvernement. Normalement, lobligation est un prt dont lemprunteur ne paye que lintrt et ne rembourse la valeur nominale qu lchance. L'intrt est pay sous forme d'un coupon priodique. Rappel Composantes de l'obligation Le prix de lobligation dpend de quatre facteurs :

Valeur nominale ou valeur au pair 2. Taux de coupons 3. Priode de temps avant lchance 4. Taux de rendement lchance (TRE): le rendement qui actualise les coupons et la valeur nominale aux prix du march daujourdhui (aussi connu sous le nom de Taux de rendement interne (Yield en anglais). 1. Rappel Taux de rendement effectif Le taux de rendement lchance (TRE) est un taux d'intrt telle que la valeur actuelle des coupons et la valeur nominale de lobligation gale le prix actuel du march.

On utilise souvent le terme taux de rendement comme dans Le taux de rendement dune obligation de 10 ans est de 5%. Importants: Le TRE est cot en tant que taux dintrt annuel. Le prix et le rendement dune obligation voluent en sens inverse Rappel Dtails dobligation Le taux de coupon, la valeur nominale (ou valeur au

pair) et la date d'chance sont tous dtermins par l'metteur (socit ou gouvernement). Le prix dune obligation mise au pair est gal sa valeur nominale (VN). Une obligation mise au pair un taux de rendement lchance = taux de coupon. La majorit des obligations sont mises au pair, avec le taux de coupon fix au taux du march. AUX -U

T-Bills - Un an et moins, pas de coupons (comme les bons du trsor) T-Notes - Entre 2 et 10 ans; coupons. T-Bonds - plus de 10 ans; coupons. Structure terme des taux dintrt Dhabitude, nous posons lhypothse simple que le taux utilis pour actualiser tous les paiements tait le mme, peu importe lchance. Nous supposons que le rendement l'chance est le mme pour toutes les obligations. En ralit, les obligations qui ont diffrentes chances auront des rendements l'chance diffrents.

La courbe des taux nest pas plate. Structure terme des taux dintrt En gnral, les obligations qui ont diffrentes chances auront des rendements l'chance diffrents (i.e. le TRE est une fonction de temps.) Si nous reprsentons le TRE en fonction de la maturit des obligations, nous appellons le rsultat : La structure terme des taux d'intrt . TRE Maturit 9 Structure terme des taux dintrt La structure terme des taux d'intrt nous donne la

relation entre lchance et le rendement l'chance d'une obligation. La courbe des taux est une reprsentation graphique de la structure des taux. Courbe normale une pente vers le haut, les rendements long terme sont plus levs que ceux court terme. Courbe inverse - une pente vers le bas, les rendements long terme sont infrieurs aux rendements court terme. Courbe des taux Canadiens

novembre 2002 Le risque des taux dintrt et la courbe de taux La banque centrale (ou la FED aux .-U) fixe le taux dintrt court terme (Le taux directeur ou le fed fund rate aux U). Les taux dintrt long terme sont fonction des taux dintrt court terme anticips, en plus, il existe une prime de risque lie l'incertitude quant aux forces sous-jacentes de l'conomie, telles que le taux de croissance de l'conomie, l'inflation, etc. Les liens la Macro conomie La banque centrale va rpondre aux forces macro-

conomiques en fixant les taux d'intrt. Ainsi, la courbe des rendements intgre de l'information sur les conditions macro-conomiques actuelles et futures. Elle peut donc servir de baromtre de lconomie. La courbe des taux dintrt inverss est un indicateur avanc de rcession. Explication de lallure de la structure terme des taux dintrt Plusieurs thories ont t proposes pour expliquer lallure et le niveau de la courbe des rendements par rapport aux chances un moment donn dans le temps :

La thorie des anticipations La thorie de la prfrence pour la liquidit La thorie des marchs segments (voir DM pages : 120-125)*** EXAM cm ou vrai ou faux La sensibilit des prix aux variations de taux Risque de taux dintrt Le risque de taux dintrt Au fur et mesure que lchance

Le risque de taux dintrt Au fur et mesure que le Taux de coupon Le risque de taux dintrt Au fur et mesure que le Taux de rendement lchance Risque de taux dintrt et lchance Les obligations ayant une chance plus longue sont plus sensibles au changement des taux que les obligations ayant une chance plus courte. Le risque de taux d'intrt est donc plus grand pour les

obligations ayant une chance plus longue. Intuition Nous pouvons voir que la pente de la courbe prix rendement (qui est fonction du taux d'intrt) est beaucoup plus raide pour les obligations dchance de 30 ans que pour les obligations dchance dun an. Plus la courbe de prix-rendement est raide, plus lobligation devient sensible aux variations des taux d'intrt. Une grande partie de la valeur actuelle dune obligation est attribuable sa valeur nominale. Plus lchance de l'obligation est longue, plus tard la valeur nominale de lobligation sera reue, ce qui la rend plus sensible au changement des taux d'intrt.

Intuition Pourquoi ? Car mme une petite variation des taux d'intrt peut avoir un effet important sils sont composs sur une plus longue priode. En voici un exemple : Obligation 20 ans : Prix = 1000x(1+r)-20 Obligation 10 ans : Prix = 1000x(1+r)-10 10 ans 20 ans 7% 508.3493 258.419

8% 463.1935 214.5482 % Variation 0.088828291 0.1698 Risque de taux dintrt et le taux de coupons Les obligations qui ont un taux de coupons lev sont moins sensibles aux variations de taux. Le risque de taux dintrt est inversement reli la valeur du taux de coupon.

Pourquoi? La valeur nominale joue un rle moins important. La portion de valeur nominale actualise dans la valeur totale actualise est beaucoup moins leve. Une obligation coupons levs diminue l'chance moyenne des paiements de coupons, et donc, diminue la sensibilit de lobligation sa valeur nominale. Taux de coupon et la sensibilit Les obligations zro coupon sont plus sensibles aux changements de taux dintrt. La sensibilit augmente avec l'chance.

Pourcentage de variation du prix de lobligation La courbe de prix-rendement Oblig Coupon chance TRE initial A 12% 5 ans 10% B 12%

30 ans 10% C 3% 30 ans 10% D 3% 30 ans

6% Changement du taux de rendement lchance (%) A B C D Sensibilit des prix Quand lchance augmente de A B, lobligation devient plus sensible. Quand le taux de coupon diminue de B C, lobligation devient

plus sensible. Quand le taux de rendement lchance diminue de C D, lobligation devient plus sensible (pour des obligations a coupons). Quand les taux sont bas, les payements plus loigns ont une valeur actualise plus grande et reprsentent une plus grande portion de la valeur totale de lobligation. Stratgies de ngociation Supposons que nous nous attendons ce que la banque centrale du Canada abaisse les taux d'intrt lors de sa prochaine runion. Vous cherchez construire un portefeuille d'obligations qui maximise la valeur de votre portefeuille. Voulez-vous construire un portefeuille avec : A. Une sensibilit maximale aux taux dintrt?

B. Une sensibilit minimale aux taux dintrt? Rponse : A. Vous cherchez construire un portefeuille qui permettra de maximiser lapprciation du prix un changement ngatif dans les taux d'intrt. Et donc, un portefeuille avec une sensibilit aux taux dintrt leve. Stratgies de ngociation Comment pouvons-nous construire un portefeuille qui est plus sensible aux variations des taux dintrt? Nous savons que nous voulons choisir : Un portefeuille dobligation longue chance plutt quun portefeuille de courte chance. Un portefeuille dobligation coupons bas plutt

quun portefeuille coupons levs. En dautres mots, idalement nous voudrions dtenir un portefeuille dobligation zro coupons longue chance! Stratgies de ngociation Supposons que nous voulons obtenir un portefeuille d'obligations, mais que nous pensons que les taux d'intrt sont sur le point d'augmenter. Que devons-nous faire? Rponse : Nous voulons tenir un portefeuille avec un minimum de sensibilit aux taux d'intrt.

Obligations de courte chance avec des coupons levs. La dure Question: Je voudrais investir mon argent dans une obligation, mais je crains que les taux de rendements obligataires changeront dans l'avenir. Pour rduire les effets des changements dans les taux de rendement sur la valeur de mes obligations, Dois-je investir dans une obligation avec une chance court ou long terme? Qu'en est-il des coupons? Devrais-je choisir une obligation avec des coupons levs ou moins levs? Rponse: Nous avons besoin d'un moyen pour calculer la sensibilit du prix des obligations aux taux dintrts. Cette mesure est la dure.

La dure La dure est une mesure plus prcise de la vie dune obligation que son chance. Lchance ne tient compte que de la date o aura lieu le paiement final. Par contre, la dure prend en considration limportance des versements dintrts et le moment o ces derniers auront lieu. Lquation de la dure n n Ct 1000 t

n VP (C t ) t VP (1000) n t n (1 r ) t 1 (1 r ) t 1 D n Ct 1000 Prix t n

( 1 r ) ( 1 r ) t 1 Dvelopp par Frederick R. Macaulay t = le temps auquel le paiement du coupon ou de la valeur nominale seffectue Ct = montant du coupon pay au temps t r = taux de rendement lchance de lobligation

Exemple de calcul de la dure Une obligation dune valeur nominale de 1000$ viendra chance dans 4 ans. Le taux de coupon annuel est de 12% et les intrts sont verss annuellement. Si le taux de rendement lchance est de 14%, quelle est la dure de cette obligations? Dure dun portefeuille dobligation La dure dun portefeuille compos de plusieurs obligations correspond la dure moyenne pondre des dures individuelles des obligations incluses dans le portefeuille : D p x1 D1 x 2 D 2 .... x n D 2

Dp :Dure dun portefeuille dobligations xi : Part des fonds investis dans lobligation i Di : Dure de lobligation i n : Nombre dobligation incluses dans le portefeuille Caractristique de la Dure de Macaulay La dure dune obligation zro coupon est gal son

chance. La dure d'une obligation avec des coupons est toujours infrieure son chance parce que la dure prend en compte les paiements intermdiaires. Il existe une relation inverse entre la dure et la taille du coupon. Il existe une corrlation positive entre l'chance de lobligation et la dure, mais la dure augmente un taux dcroissant avec lchance. Il existe une relation inverse entre le TRE et la dure. Dure dune obligation vs l'chance Dure modifie Pour des taux composs m fois par anne, une

mesure ajuste de la dure peut tre utilise pour estimer le pourcentage de variation du prix face une variation de taux : Duree de Macaulay D D* i i 1 1 m m

33 La dure modifie et la volatilit des obligations Le changement des prix des obligations varie proportionnellement la dure modifie pour de petits changements de taux Une approximation du pourcentage de changement du prix dune obligation est le changement de taux multipli par la dure modifie. P D * i P P = changement du prix de lobligation P = prix initial de lobligation D* = la dure modifie de lobligation i = changement du taux

Un petit test de votre intuition Supposons que vous travaillez pour Eggbert Kapital et que vous grez le portefeuille d'obligations. Vous vous attendez une diminution considrable des taux d'intrt. Devriez-vous investir dans des obligations long terme avec de faibles coupons, ou dans des obligations faible chance et hauts coupons? Obligations avec une dure leve ou faible? Rponse: Vous devriez investir dans des obligations o les prix vont augmenter le plus lorsque les taux d'intrt diminuent. De cette manire, vous allez choisir des obligations avec une longue chance et un faible taux de coupon. Vous voulez choisir des obligations avec la plus grande dure!

Courbe du prix et du TRE Approximation de premier ordre La dure nous donne une approximation de premier ordre de la courbe du prix et du TRE. Pour de petits changements, la dure va nous donner une bonne estimation, mais la dure est une estimation linaire de la tangente en ce point. Nous estimons ici la courbe avec une ligne droite Erreur dapproximation

pente D * P i TRE Convexit La convexit est une mesure de la non-linarit de la courbe prix-rendement. Elle est la drive seconde du prix par rapport au taux (d2P/dy2) divis par le prix. La convexit reprsente le pourcentage de variation de dP/dy pour un changement de taux d 2P

2 dy Convexity P Correction pour la convexit Nous pouvons mieux estimer une courbe si lon utilise une fonction quadratique. P 2 1 D i Convexite ( i ) 2 P 1

Convexite P (1 i ) 2 CFt 2 (1 i ) t ( t t ) t 1 T 2T CFt / 2 t t 1 1

Convexite ( )( ) i i P (1 ) 2 t 1 (1 ) t 2 2 2 2 2 La dure sajoute la convexit Ainsi, pour un petit changement dans le taux y, la dure modifie et la convexit donnent lapproximation de second ordre de la courbe prix rendement.

P - D* P i + P C (i)2 Le changement de prix expliqu par la dure - D* P i Le changement de prix expliqu par la convexit P C (i)2 Portefeuille 0 Pourcentage de variation du prix La convexit des obligations Dure Variations du TRE (%)

Dure + Convexit Les effets de la dure et de la convexit La variation du prix dune obligation cause par la variation des taux sexplique par: La dure modifie de lobligation La convexit de lobligation Limpact marginal de chacun de ces deux facteurs dpend des caractristiques des obligations et de la

taille du mouvement de taux. Les investisseurs aiment la convexit! Exemple Soit une obligation possdant les caractristiques suivantes : Valeur nominale : 1000$ chance : 3 ans Taux de coupon annuel 10% ( intrts verss annuellement) Taux de rendement exig par le march : 15% a) Calculer la dure de cette obligation b) Calculer la variation exacte (en %) du prix de cette obligation si le taux de rendement exig par le march, passe 15% 12%

c) Calculer la variation (en %) du prix de cette obligation en tenant compte exclusivement de la dure de cette obligation d) Calculer la variation (en %) du prix de cette obligation en tenant compte de la dure modifie et de la convexit.

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