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Universit de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Sant L2-PCGI Electromagntisme Philippe Rabiller 2005 Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 1 Plan du cours ch.1 Introduction ch.2 Vecteurs et champs ch.3 Champ et Potentiel lectrostatiques ch.4 Champ Magntique ch.5 Induction lectromagntique ch.6 Propagation des ondes lectromagntiques ch.7 Rayonnement lectromagntique Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 2 Chapitre 6: Propagation des ondes lectromagntiques 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Introduction Equations de Maxwell Equations de propagation dans le vide Ondes lectromagntiques Energie transporte par une onde lectromagntique Rflexion - Rfraction aux interfaces 6.7 6.8 6.9 6.10 Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 3 6.1 Introduction Dans les chapitres traitant dlectrostatique et de magntostatique, nous

avons obtenu des quations locales qui rgissent les champs lectrique et magntique statiques en fonction des potentiels scalaire et vecteur (statiques) et des densits de charge ou de courant (stationnaires) . E et B drivent de potentiels : Thorme de Gauss : Thorme dAmpre : E V B A B 0 (2) E o (1) B o j Sur la route du thorme dAmpre, nous avions entrevu en calculant le rotationnel du champ magntique (ch.4.4), linter-dpendance entre le potentiel vecteur et le potentiel scalaire: Condition de Lorentz : A 12 V 0 c t Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 (L) 4 6.1 Introduction Enfin en abordant linduction lectromagntique nous avons trouv une premire relation locale liant les comportements dynamiques des champs lectrique et magntique: E B (3)

t E V A (3b) t Loi de Faraday : Rappelons galement quil existe une relation de conservation reliant les densits de courant et de charge. Conservation de la charge : t j t 3 Q ( r ) d r t Accumulation de charge (C) 3 j.dS . j d r Flux de charge sortant Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 5 6.2 Equations de Maxwell Les quations locales (1) (2) et (3) sont trois des quatre quations de Maxwell qui unifient la thorie de llectromagntisme. La quatrime quation que nous allons dmontrer ici donne la dpendance dynamique du

rotationnel du champ magntique. Calculons nouveau le rotationnel du champ magntique en introduisant sa dfinition partir du potentiel vecteur, la condition de Lorentz (L) et lquation de Maxwell (3b). B A 2 A A A (L) 12 V c t 2 A 2 E 1 1 B 2 2 2 A c t c t

(3b) 12 V 12 E A t c t c t Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 6 6.2 Equations de Maxwell Pour calculer le laplacien du potentiel vecteur - qui est donc un vecteur nous allons procder par analogie partir du laplacien du potentiel scalaire. Injectons lquation (3b) dans lquation (1) puis la condition de Lorentz (L). E V A t A 12 V 0 c t E o E V A t o 2 V 1 V 2 2

o c t 2 Or nous savons que la dfinition gnrale du potentiel est la suivante : 1 V( r ) = ( r )d3r 4o | r - r | Est solution de De mme la dfinition gnrale du potentiel vecteur est : A ( r ) = 4o j ( r ) | r - r | d 3 r Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 7 6.2 Equations de Maxwell Cest dire que chacune des composantes du potentiel vecteur A x, Ay, Az satisfait une relation de la forme : o jx ( r ) 3 Ax ( r ) = 4 dr | r - r | En faisant lanalogie V Ax , jx et 1/o o on voit que les expressions sont en tous points similaires pour les deux potentiels. La composante Ax du potentiel vecteur est donc galement solution de 2 2 1

lquation: Ax 2 A2 x o jx c t Cest--dire que le potentiel vecteur lui-mme satisfait une quation du mme type : 2 A 2 1 A 2 2 o j c t La quatrime quation de Maxwell est finalement donne par: B o j 12 E B o j o E t c t dimension dune densit de courant Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 8 6.2 Equations de Maxwell En rsum, les quatre quations de Maxwell dynamiques relient localement les divergences et rotationnels des champs lectrique et magntique aux champs lectrique et magntique eux-mmes, ainsi quaux sources de charges et de courants statiques ou dynamiques. E o B 0 (1) Maxwell - Gauss

(2) E B t (3) Maxwell - Faraday B o j 12 E c t (4) Maxwell - Ampre Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 9 6.2 Equations de Maxwell En statique: E o B 0 (1) (2) E 0 (3) B o j (4)

En labsence de charge et courant : E 0 (1) B 0 (2) E B t (3) B 12 E c t (4) Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 10 6.3 Equations de propagation dans le vide. Dans le paragraphe prcdent, nous avons vu que le potentiel scalaire et les composantes du potentiel vecteur sont solutions dquation diffrentielles similaires: 2 2 V A 2 2 1 1

V 2 2 A 2 2 o j o c t c t Nous pouvons montrer quil en est de mme pour les champs lectrique et magntique. Nous utilisons encore ici lidentit mathmatique qui relie le rotationnel du rotationnel dun vecteur au laplacien et au gradient de la divergence de ce mme vecteur: 2 B B B 2 E E E Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 11

6.3 Equations de propagation dans le vide. 2 B B B (4) (3) 12 B2 c t 2 2 E E E 0 1 o j 2 E c t

2 B 2 1 B 2 2 o j c t (3), (4) o j 12 E t c t 2 j E 2 E 12 2 o t c t o (1) o Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 12 6.3 Equations de propagation dans le vide. On voit que ces quations sont toutes les mmes dans le vide, i.e. en labsence de charge et de courant. Equation de dAlembert dans le vide

2 V A 2 E 2 B 2 2 1V 2 2 c t 2 1A 2 2 c t 2 12 E c t2 2 12 B c t2 0 0 0 0 Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 13 6.4 Ondes lectromagntiques. Ces quations admettent des solutions complexes, combinaisons linaires de

fonctions du type S(r, t) So e j tt - kr qui sont des fonctions reprsentant une onde plane, cest dire une grandeur physique oscillant avec la frquence = /2 et se propageant dans la direction du vecteur donde k avec une vitesse de propagation c = / | k |. La quantit sappelle la pulsation de londe. (k) La relation entre la pulsation et le vecteur donde sappelle relation de dispersion. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 |k| 14 6.4 Ondes lectromagntiques. Une telle onde prsente une double priodicit dans le temps et dans lespace. La priode temporelle T (mesure en secondes) est linverse de la frquence (mesure en Hz) T=1/. La priode spatiale ou longueur donde est inversement proportionnelle au module du vecteur donde = 2| k |. T=1/ = 2| k | temps espace Supposons quau temps t = 0 et la position r = 0, la phase initiale soit nulle, alors chaque fois que le temps t est un multiple de la priode T, ou que la projection du vecteur position r sur la direction de propagation k / |k | est un multiple de la longueur donde, lamplitude de la fonction donde | S(r,t)| passe par un maximum |So|. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 15 6.4 Ondes lectromagntiques. Dans le cas o la grandeur physique est un champ vectoriel, la fonction donde est un vecteur. La fonction donde est alors dfinie non seulement par une amplitude, une pulsation, un vecteur donde, mais galement par une direction particulire appele polarisation de londe, ne pas confondre avec la direction de propagation (reprsente par le vecteur donde). Pour une onde sinusodale on aura: j tt - kr o o

S(r, t) S e e amplitude pulsation vecteur donde polarisation Les grandeurs physiques observables tant relles, la solution physique S est donc donne par la partie relle de la fonction donde complexe. S ( r, t) = Re{ S( r, t) } = {S + c.c.} complexe conjugu Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 16 6.4 Ondes lectromagntiques. Un nombre complexe Z peut scrire de deux faons: Z a j b Z a j b a cos b sin Z e j Z e -j a 2 b2 arctg b a Ainsi une fonction donde relle scrira S ( r, t) = So cos ( t - kr + ) eo Soit en coordonnes cartsiennes: S x ( x,y,z, t) = So cos ( t [kxx+kyy+kzz] + ) eox S y ( x,y,z, t) = So cos ( t [kxx+kyy+kzz] + ) eoy S z ( x,y,z, t) = So cos ( t [kxx+kyy+kzz] + ) eoz Par exemple pour une onde de pulsation polarise suivant la direction Oy et se propageant la vitesse c = /k dans la direction Ox on crira: S y ( x, t) = So cos ( t kx + ) Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005

17 6.4 Ondes lectromagntiques. Vrifions prsent que ces fonctions sont bien solutions de lquation de dAlembert. 1 2S ? S- 2 2 0 c t 2 Soit S la fonction donde dfinie par S(r,t) = So e j(t-kr ). 2 S S - jk S k S 2 kx jkr jkr j(k x x k y yk z z) j(k x x k y ykz z) (e ) (e ) j k y e j k e k z k x e j(kx x k y ykz z)

jkr 2 j(kx x k y y k z z) j(k x k y k z) 2 2 2 ( k x k y k z ) e x y z k e jkr ( j k e ) j k ye j(kx x k y y k z z) k e z 2 2 1 S 1 jtS 1 jt S - t S c2 t2 c2 t c2 t c2 2 2 2 S t 1 S 2 2 k 2 S 0 c t c 2 La fonction S satisfait donc bien lquation de d Alembert si Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 |k|c = .

18 6.4 Ondes lectromagntiques. Montrons prsent que c reprsente bien la vitesse de propagation. Par commodit effectuons les calculs pour une fonction relle 1D phase initiale nulle (choix de la direction Ox suivant celle de k et de lorigine telle que S(0,0)=So): S(x,t) = So cos (t - kx) Pour quun tat donn de S(x,t) se retrouve galement en un point x=x+dx au temps t=t+dt, il faut que la phase de londe "t - kx" soit conserve: = t - kx = t - kx. Pour que cette phase soit constante (on parle alors donde stationnaire) il faut que d = 0, soit d = dt - kdx = 0. La quantit dx/dt = /k = c reprsente une vitesse instantane. Il sagit de la vitesse de propagation dun tat de londe - correspondant une phase donne -, cest pourquoi on lappelle vitesse de phase. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 19 6.4 Ondes lectromagntiques. Remarque: Nous verrons plus tard que les ondes lectromagntiques vhiculent de lnergie. Or nous savons quau travers de la matire, une partie de cette nergie peut tre absorbe et les ondes attnues. Dans ce cas il faut ajouter un terme dattnuation dans la fonction donde (en r ou en t). j tt - kr r S(r, t) So e eo S(x) Le terme sappelle coefficient damortissement (loi de Beer Lambert). x Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 20 6.4 Ondes lectromagntiques. Appliquons ces notions dondes aux champs lectrique et magntique, qui scrivent alors sous la forme: j tt - kr m B (r, t) Bo e

j tt - kr e E (r, t) Eo e j tt - kr m eb Bo e j tt - kr e ee Eo e Calculons les deux membres de lquation de Maxwell-Faraday (3) partir de ces expressions. E B t E Ez y - Ey z Ex x y Ey Ex z - Ez x z x y Ex Ez Ey Ez Eoz e j(tt [kxxkyykzz] e) j k y Ez y y Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 21 6.4 Ondes lectromagntiques. De mme, pour tout couple ()

E j k E et : k y Ez k z E y E j k z E x k x Ez j k E k x E y k y Ex Dautre part, on a pour la drive par rapport au temps du champ magntique: B jt B t On en dduit donc, la relation suivante pour la propagation des champs lectrique et magntique dans le vide: B k t E cB uk E k t 1 c uk vecteur unitaire dans la direction de propagation Le champ magntique se propage perpendiculairement au champ lectrique et la direction de propagation (dans le vide). Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005

22 6.4 Ondes lectromagntiques. Par analogie, on trouve le mme type de relations partir de lquation de Maxwell-Ampre (4) : B j k B B 12 E c t 1 E jt 2 E 2 c t c E uk cB Le champ lectrique se propage perpendiculairement au champ magntique et la direction de propagation. noeud 2 2c c cT k ventre E B k En tout point le rapport des modules | E | / | B | dans le vide est constant et gal la vitesse de la lumire c. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 23 6.5 Energie transporte par une onde lectromagntique. En lectrostatique et magntostatique, nous avons montr quon pouvait associer localement dans le vide des densits dnergie potentielle (i.e. rcuprable par une charge test au point considr sous forme de travail de la force de Lorentz):

2 dWe 1 3 dr 2 o E dWm 1 1 2 d3r 2 o B Energie lectrostatique : Energie magntostatique : Nous allons montrer que la puissance par unit de volume dissipe localement par une onde lectromagntique dans le vide est donne par la divergence du vecteur de Poynting : S E E B B E B E B B t E B 1 BB 2 t

B o E B E E 12 c t o o EE Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 24 6.5 Energie transporte par une onde lectromagntique. 1 B2 S E B 1 o E2 o t 2 o 2 La divergence du vecteur de Poynting est donc gale loppos du taux de variation de la densit locale dnergie lectromagntique.

dWem S t d3r En utilisant le thorme de la divergence, on trouve que la puissance dissipe travers une surface est donne par loppos du flux du vecteur de Poynting: S d3r V S dWem 3 Wem dWem P d3r d r t SS dS V t V t Puissance rayonne travers la surface Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 25 S em 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Discontinuit du champ lectrique aux interfaces : Revenons un peu en arrire et regardons ce qui se passe une interface entre milieux isolants ou conducteurs parfaits (ie. dans lesquels aucune densit de charge nexiste en volume). 1 Comme nous nous intressons ce qui se passe linterface, nous pouvons donc

considrer celle-ci comme un plan infini sparant deux milieux (1) et (2), qui peut tre charg avec une densit surfacique de charges . Nous pouvons appliquer le thorme de Gauss sur une petite surface cylindrique qui est coupe par le plan perpendiculairement au cylindre. Nous pouvons rendre le cylindre aussi petit que lon veut de sorte que le champ soit homogne sur toute la surface de part et dautre du plan. Nous pouvons dcomposer le 2 champ en deux composantes, lune normale au plan, lautre tangentielle. E d S E d S n E d S t E2n E1n Sn Sn S S S o N E2 E1 N o Une interface charge superficiellement donne lieu une discontinuit de la composante normale du champ lectrique. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005

26 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Discontinuit du champ lectrique aux interfaces : Considrons prsent la circulation du champ lectrique le long du contour ferm , que lon peut galement rendre aussi petit que lon veut. E d l (E1 E2 ) L (E1 E2 ) et 1 2 et N L Appliquons ensuite le thorme de Stokes qui permet de passer dune intgrale sur un contour ferm une intgrale sur une surface sappuyant sur ce contour: ( E) dS ( E) (L d l ) S dl ( E) dS (L E) ( d l ) dl0 0 S E1 E2 et 0 Une interface mme charge superficiellement nentrane pas de discontinuit de la composante tangentielle du champ lectrique. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005

27 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Discontinuit du champ magntique aux interfaces : Nous pouvons appliquer le mmes considrations au champ magntique en considrant que le plan est parcouru par une densit de courant . 1 2 en calculant le flux du champ magntique travers une petite surface cylindrique ferme perpendiculaire au plan. B dS (B2 B1 ) dS S 3 B d S B d r 0 S N 1 2 et e N L dl

B B N 0 2 1 V une interface parcourue par une densit de courant superficielle ne donne pas lieu une discontinuit de la composante normale du champ magntique. en utilisant le thorme dAmpre sur le contour B d l ( B B ) L ( B B ) L e 1 2 1 2 t

B d l ( B ) d S o j dS oI S B 1 B2 et o S une interface parcourue par une densit de courant superficielle entrane une discontinuit de la composante tangentielle du champ magntique. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 28 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Discontinuit du champ magntique aux interfaces : Pour la discontinuit de la composante tangentielle du champ magntique, puisque la composante normale est continue on peut mettre la dernire quation trouve sous la forme:

B1 B2 N o ! La normale est dirige du milieu (1) vers le milieu (2). Rflexion - Rfraction : Lorsquune onde incidente rencontre une interface (changement de milieu (1) vers (2)), on observe quune partie de londe est rflchie (miroir) et une autre partie est transmise travers linterface en tant plus ou moins dvie. On parle dans ce dernier cas de rfraction. Er, Br onde incidente onde rflchie Ei, Bi Et, Bt onde transmise Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 29 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Rflexion - Rfraction : Il y a donc 4 inconnues vectorielles quil faut trouver en utilisant les quations de Maxwell-Ampre et Maxwell-Faraday dans les milieux homognes (1) et (2) , et les conditions de continuit linterface. Dans le vide la vitesse de phase dune onde plane est la vitesse de la lumire c. Par contre dans la matire, cette vitesse est plus lente. On sait que dans le vide la vitesse de la lumire c est lie aux constantes o et o par la relation: c 1 oo Dans la matire la permittivit du vide o est remplace par la permittivit du milieu ro et la permabilit magntique o par =ro. On en dduit donc intuitivement que la vitesse de phase dune onde plane lectromagntique dans la 1 matire est du type : v 1 c roro rr

Cette relation est vraie sil ny a pas dabsorption. Le rapport c/v nest autre que lindice de rfraction n du milieu matriel (que lon utilise dans les lois de Snell-Descartes en optique gomtrique). Dans beaucoup de matriaux la permabilit relative r est trs proche de 1 et la constante dilectrique dun matriaux correspond donc approximativement au carr de lindice de rfraction (si on nglige labsorption): n = c/v ~ r. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 30 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Rflexion - Rfraction : conditions gnrales Dautre part, une onde lectromagntique est gnre par des sources de charges lectriques, diples lectriques, diples magntiques oscillant une frquence, ou pulsation, donne. Cela correspond donc un systme doscillations forces pour lequel la pulsation est impose par le gnrateur. Les pulsations des ondes lectromagntiques incidente, rflchie et transmise sont donc toutes les mmes. Les ondes incidente, rflchie et transmise sont donc du type: j(tt kir) Ei Eoi e j(tt krr) Er Eor e j(tt ktr) Et Eot e j(tt kir) Bi Boi e j(tt krr) Br Bor e j(tt ktr) Bt Bot e Les relations liant, en un point de linterface, ces diffrents vecteurs ne doivent pas dpendre de la position choisie dans le plan ( de linterface. Faisons apparatre la composante r du vecteur position r = r + rn qui est dans le plan . r Nous pouvons mettre les vecteurs ci dessus sous la forme: jkirn jtt jkir * jtt jkir Ei Eoi e e e Eoi e e Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 rn

r 31 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Rflexion - Rfraction : conditions gnrales Ecrire que les relations liant ces diffrents vecteurs en un point de linterface ne dpendent pas de la position choisie dans le plan de linterface revient donc crire lquation suivante : k i r k r r kt r De la premire quation ci-dessus on tire : k i k r r 0 En notant que |ki|= vi/ o vi est la vitesse de phase de londe incidente et en appelant ui le vecteur unitaire dans la direction de ki, cela revient dire que : Le vecteur ui - ur est perpendiculaire linterface et donc les angles que font les rayons incidents (vecteur donde incident) et rflchis avec la normale N au plan sont gaux. On retrouve la loi de la rflexion. i r ur ui - ur N ui Les vecteurs ui ur et N dfinissent le plan d incidence. Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 32 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Rflexion - Rfraction : conditions gnrales Pour interprter la deuxime partie de lquation dinvariance le long de linterface, introduisons les indices de rfraction n 1 et n2 des milieux (1) et (2).

k i r kt r n1 uir n2ut r n1 sin(i ) n2 sin(r ) On retrouve la loi de rfraction de Snell-Descartes. (1) i ui (2) N r ut Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 33 6.6 Rflexion Rfraction aux interfaces. Rflexion - Rfraction : conditions gnrales Enfin il reste crire les conditions de continuit linterface pour les amplitudes des composantes normales et tangentielles des champs lectrique et magntique en prsence dventuelles densits superficielles de charge ou de courant: E2n E1n s o E1n Eion Eron E2n Eton E2t E1t E1t Eiot Erot E2t Etot B2n B1n

B1n Bion Bron B2n Bton B2t B1t o s B1t Biot Brot B2t Btot Certaines contraintes supplmentaires viennent de la nature des matriaux. Par exemple dans un conducteur parfait E=0. Dans un matriaux diamagntique la susceptibilit magntique est gale 1 et B = o (H+M) = o (1+ ) H = 0 Electromagntisme - L2 PCGI - Universit Rennes 1 - 2005 34

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